Question

20．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知D，E分別為BC，B₁C₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC₁上，且EF⊥C₁D．求證：
（1）直線A₁E∥平面ADC₁；
（2）直線EF⊥平面ADC₁．

Answer 1

分析 （1）連接ED，∵D，E分別為BC，B₁C₁的中點(diǎn)．可得四邊形B₁BDE是平行四邊形，進(jìn)而證明四邊形AA₁ED是平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可證明直線A₁E∥平面ADC₁．
（2）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理可得AD⊥BB₁，又△ABC是正三角形，可得AD⊥BC，再利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）連接ED，∵D，E分別為BC，B₁C₁的中點(diǎn)，
∴B₁E∥BD且B₁E=BD，
∴四邊形B₁BDE是平行四邊形，
∴BB₁∥DE且BB₁=DE，又BB₁∥AA₁且BB₁=AA₁，
∴AA₁∥DE且AA₁=DE，
∴四邊形AA₁ED是平行四邊形，
∴A₁E∥AD，又∵A₁E?平面ADC₁，AD?平面ADC₁，
∴直線A₁E∥平面ADC₁．
（2）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，
又AD?平面ABC，所以AD⊥BB₁，
又△ABC是正三角形，且D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，
又BB₁，BC?平面B₁BCC₁，BB₁∩BC=B，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，
又EF?平面B₁BCC₁，∴AD⊥EF，
又EF⊥C₁D，C₁D，AD?平面ADC₁，C₁D∩AD=D，
∴直線EF⊥平面ADC₁．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、線面平行與垂直的判定性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．