Question

5．已知圓O：x²+y²=2，直線l：y=kx-2．
（1）若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，當∠AOB=$\frac{π}{2}$時，求k的值．
（2）若EF、GH為圓O：x²+y²=2的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求四邊形EGFH的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意結(jié)合圓的弦心距、半徑和弦長間的關(guān)系列式求得k值；
（2）設(shè)出圓心O到直線EF、GH的距離分別為d₁，d₂，由圓的弦心距、半徑和弦長間的關(guān)系把|EF|、|GH|用圓心O到直線EF、GH的距離分別為d₁，d₂表示，代入四邊形EGFH的面積公式，然后利用基本不等式求得最值．

解答 解：（1）∵∠AOB=$\frac{π}{2}$，∴點O到l的距離$d=\frac{\sqrt{2}}{2}r$，
∴$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{2}$，解得k=$±\sqrt{3}$；
（2）設(shè)圓心O到直線EF、GH的距離分別為d₁，d₂．
則${wjmczvg_{1}}^{2}+{ptowrwn_{2}}^{2}=|OM{|}^{2}=\frac{3}{2}$，
∴$|EF|=2\sqrt{{r}^{2}-{gxfzyvk_{1}}^{2}}=2\sqrt{12-{l2lxpi1_{1}}^{2}}$，|GH|=$2\sqrt{{r}^{2}-{1muzxeq_{2}}^{2}}=2\sqrt{2-{idedkgu_{2}}^{2}}$，
∴$S=\frac{1}{2}|EF||GH|=2\sqrt{（2-{gxr7avu_{1}}^{2}）（2-{bqafdbt_{2}}^{2}）}$$≤2-{d1kpmlb_{1}}^{2}+2-{pkuafxy_{2}}^{2}=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$．
當且僅當$2-{qy2yy6g_{1}}^{2}=2-{er17u7d_{2}}^{2}$，即$gr6zvwv_{1}=hdrfupa_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$時，取“=”．
∴EGFH面積S的最大值為$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查直線與圓的方程關(guān)系的應(yīng)用，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了點到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔題．