Question

1．已知點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）（λ∈R），則直線AP必經(jīng)過△ABC的（　�。�

• A． 重心
• B． 內(nèi)心
• C． 垂心
• D． 外心

Answer 1

分析 兩邊同乘以向量$\overrightarrow{BC}$，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=0，從而得到結(jié)論．

解答 解：∵$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$），
兩邊同乘以向量$\overrightarrow{BC}$，得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）•$\overrightarrow{BC}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）
=λ（$\frac{\left|\overrightarrow{AB}\right|•\left|\overrightarrow{BC}\right|•-cosB}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\left|\overrightarrow{AC}\right|•\left|\overrightarrow{BC}\right|•cosC}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）=λ（-|$\overrightarrow{BC}$|+|$\overrightarrow{BC}$|）=0．
∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
即點(diǎn)P在在BC邊的高線上，
∴P的軌跡過△ABC的垂心．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義，屬中檔題．