Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上一點(diǎn)，且|PF₁|•|PF₂|的最大值的取值范圍是[2c²，3c²]，其中c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，則橢圓的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• C． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• D． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，|PF₁|•|PF₂|的最大值為a²，則由題意知2c²≤a²≤3c²，由此能夠?qū)С鰴E圓m的離心率e的取值范圍．

解答 解：∵|PF₁|+|PF₂|=2a
∴|PF₁|•|PF₂|≤a²，
∴|PF₁|•|PF₂|_max=a²，
∴由題意知2c²≤a²≤3c²，
∴$\sqrt{2}$c≤a≤$\sqrt{3}$c，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}≤e≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故橢圓m的離心率e的取值范圍[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，確定|PF₁|•|PF₂|的最大值=a²是正確解題的關(guān)鍵．