Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|-|x-a|（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=l時(shí)，求不等式f（x）≤1的解集
（Ⅱ）對(duì)任意m∈R^*，x∈R不等式f（x）≤m+$\frac{4}{m}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分段函數(shù)，求得當(dāng)a=l時(shí)，不等式f（x）≤1的解集．
（Ⅱ）利用絕對(duì)值三角不等式求得f（x）的最大值為|a+1|，結(jié)合題意可得|a+1|≤m+$\frac{4}{m}$恒成立．利用基本不等式求得m+$\frac{4}{m}$的最小值為4，可得|a+1|≤4，解此絕對(duì)值不等式，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=l時(shí)，f（x）=|x+1|-|x-a|=|x+1|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-2，x≤-1}\\{2x，-1＜x＜1}\\{2，x≥1}\end{array}\right.$，
∴由不等式f（x）≤1，可得x≤$\frac{1}{2}$，即不等式f（x）≤1的解集為{x|x≤$\frac{1}{2}$ }．
（Ⅱ）由f（x）=|x+1|-|x-a|≤|x+1-（x-a）|=|a+1|，
對(duì)任意m∈R^*，x∈R不等式f（x）≤m+$\frac{4}{m}$恒成立，
可得|a+1|≤m+$\frac{4}{m}$恒成立．
而m+$\frac{4}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{4}{m}}$=4，∴|a+1|≤4，∴-4≤a+1≤4，即-5≤a≤3，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|-5≤a≤3}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．