Question

16．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=e^-x（a+ex-x²）
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（-1，f（-1））處的切線方程；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）先求出f′（x），把a=1代入f′（x）確定其解析式，根據(jù)曲線y=f（x）的切點（-1，f（-1））得到切線的斜率k=f′（-1），把x=-1代入f（x）中求出f（-1）得到切點的坐標，利用切點坐標和斜率寫出切線方程即可；
（2）令f′（x）=0即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：∵f（x）=e^-x（a+ax-x²）
∴f′（x）=-e^-x（a+ex-x²）+e^-x（e-2x）=e^-x[x²-（e+2）x+e-a]，
（1）當a=1時f′（x）=e^-x[x²-（e+2）x+e-1]，
則f′（-1）=2e²+2e，f（-1）=e（1-1-1²）=-e²，
所以切點坐標為（-1，-e²），切線斜率k=2e²+2e
則切線方程為y=（2e²+2e）x+e²+2e；
（2）令g（x）=x²-（e+2）x+e-a，
△=（e+2）²-4（e-a）≤0即a≤-$\frac{{e}^{2}}{4}$-1時，
g（x）≥0，又∵e^-x＞0，∴f′（x）≥0，
此時f（x）在R上單調(diào)遞增；
當△＞0即a＞-$\frac{{e}^{2}}{4}$-1時，
令f′（x）=0，即g（x）=0，x=$\frac{e+2±\sqrt{{e}^{2}+4a+4}}{2}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{e+2+\sqrt{{e}^{2}+4a+4}}{2}$或x＜$\frac{e+2-\sqrt{{e}^{2}+4a+4}}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{e+2-\sqrt{{e}^{2}+4a+4}}{2}$＜x＜$\frac{e+2+\sqrt{{e}^{2}+4a+4}}{2}$，
∴f（x）在（$\frac{e+2+\sqrt{{e}^{2}+4a+4}}{2}$，+∞），（-∞，$\frac{e+2-\sqrt{{e}^{2}+4a+4}}{2}$）遞增，
在（$\frac{e+2-\sqrt{{e}^{2}+4a+4}}{2}$，$\frac{e+2+\sqrt{{e}^{2}+4a+4}}{2}$）遞減．

點評 此題是一道綜合題，要求學(xué)生會根據(jù)導(dǎo)數(shù)求曲線上某點切線的斜率以及會根據(jù)一點和斜率寫出切線的方程，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．