Question

3．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=2$\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別是CC₁，BC的中點(diǎn)，求：
（1）異面直線EF和A₁B所成的角；
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)異面直線所成角的定義即可qui異面直線EF和A₁B所成的角；
（2）直接利用三棱柱的體積公式即可求直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

解答 解：（1）連接BC₁，
∵E，F(xiàn)分別是CC₁，BC的中點(diǎn)，
∴EF是△BC₁C的中位線，
則EF∥BC₁，
即BC₁與A₁B所成的角，即為異面直線EF和A₁B所成的角
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=2$\sqrt{2}$，
∴△BA₁C₁為直角三角形，
則A₁C₁=AC=2，A₁B=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{4+8}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
則tan∠A₁BC₁=$\frac{{A}_{1}{C}_{1}}{{A}_{1}B}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即∠A₁BC₁=$\frac{π}{6}$，即異面直線EF和A₁B所成的角是$\frac{π}{6}$．
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=$\frac{1}{2}×AB•AC•A{A}_{1}$=$\frac{1}{2}×2×2×2\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查異面直線所成角的求解以及三棱柱的體積的計(jì)算，根據(jù)相應(yīng)的定義進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．