Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=2x-$\frac{lnx+2x-a}{x+1}$．
（1）若f（x）≥3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)F（x）=f（x）e^x，若a=-1，求證：F（x）＞ln2-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）把f（x）≥3恒成立，轉(zhuǎn)化為a≥lnx-2x²+3x+3恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-2x²+3x+3，由導(dǎo)數(shù)求得其最大值得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）把a(bǔ)=-1代入F（x）=f（x）e^x，整理后構(gòu)造函數(shù)g（x）=2x²-lnx-1，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值為2-$\frac{1}{2}$．再令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+1}$，由函數(shù)的單調(diào)性求得h（x）＞1，則結(jié)論得證．

解答 （1）解：f（x）≥3恒成立，即2x-$\frac{lnx+2x-a}{x+1}$-3≥0（x＞0）恒成立，
也就是a≥lnx-2x²+3x+3恒成立，
令g（x）=lnx-2x²+3x+3，
${g}^{′}（x）=\frac{1}{x}-4x+3=\frac{-4{x}^{2}+3x+1}{x}$（x＞0），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）有極大值，也就是最大值為g（1）=4．
∴a≥4；
（2）證明：當(dāng)a=-1時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）e^x=（2x-$\frac{lnx+2x+1}{x+1}$）e^x=$\frac{2{x}^{2}-lnx-1}{x+1}{e}^{x}$，
令g（x）=2x²-lnx-1，${g}^{′}（x）=4x-\frac{1}{x}=\frac{4{x}^{2}-1}{x}$，
當(dāng)x∈$（0，\frac{1}{2}）$時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈$（\frac{1}{2}，+∞）$時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）由最小值，等于g（$\frac{1}{2}$）=ln2-$\frac{1}{2}$．
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+1}$，該函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴h（x）＞h（0）=1，
∴g（x）h（x）=$\frac{2{x}^{2}-lnx-1}{x+1}{e}^{x}$＞ln2-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、通過(guò)構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題的方法，考查了轉(zhuǎn)化能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．