Question

16．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和圓x²+y²=b²，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為Q，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B．
（1）①若$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$，求橢圓的離心率e；
②若橢圓上存在點(diǎn)P，使得∠APB=60°，求橢圓離心率e的取值范圍；
（2）設(shè)直線AB與x軸、y軸分別交于M，N，求△MON面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）①若$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$，則△QF₁F₂為等腰直角三角形，可得b=c，即可得出離心率．
②由橢圓上存在點(diǎn)P，使得∠APB=60°，連接OA，OB，OP．則OA⊥AP，OB⊥BP，且∠APO=30°．可得OP=2OA=2b，2b≤a，利用離心率計(jì)算公式即可得出．
（2）連接OA，OB，OP．則OA⊥AP，OB⊥BP．可得O，A，P，B四點(diǎn)共圓．設(shè)P（acosθ，bsinθ），（θ∈[0，2π）），其圓的方程為$（x-\frac{acosθ}{2}）^{2}+（y-\frac{bsinθ}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}（{a}^{2}co{s}^{2}θ+^{2}si{n}^{2}θ）$，化簡(jiǎn)與x²+y²=b²聯(lián)立可得：xacosθ+ybsinθ=b²，即為直線AB的方程．（cosθ•sinθ≠0）．分別令y=0，x=0，可得M$（\frac{^{2}}{acosθ}，0）$，N$（0，\frac{sinθ}）$．再利用三角形面積計(jì)算公式、倍角公式即可得出．

解答 解：（1）①若$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$，則△QF₁F₂為等腰直角三角形，
∴b=c，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
②由橢圓上存在點(diǎn)P，使得∠APB=60°，
連接OA，OB，OP．則OA⊥AP，OB⊥BP，且∠APO=30°．
∴OP=2OA=2b，∴2b≤a，
∴$e=\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又e＜1，
∴$e∈[\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$．
（2）連接OA，OB，OP．則OA⊥AP，OB⊥BP．
可得O，A，P，B四點(diǎn)共圓．
設(shè)P（acosθ，bsinθ），（θ∈[0，2π）），其圓的方程為$（x-\frac{acosθ}{2}）^{2}+（y-\frac{bsinθ}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}（{a}^{2}co{s}^{2}θ+^{2}si{n}^{2}θ）$，
化為x²+y²-xacosθ-ybsinθ=0，與x²+y²=b²聯(lián)立可得：
xacosθ+ybsinθ=b²，即為直線AB的方程．（cosθ•sinθ≠0）．
分別令y=0，x=0，可得M$（\frac{^{2}}{acosθ}，0）$，N$（0，\frac{sinθ}）$．
S_△OMN=$\frac{1}{2}\frac{^{2}}{a|cosθ|}•\frac{|sinθ|}$=$\frac{^{3}}{a•|sin2θ|}$≥$\frac{^{3}}{a}$．
當(dāng)cosθsinθ=0時(shí)不符合題意，舍去．
∴△OMN面積的最小值為$\frac{^{3}}{a}$．此時(shí)sin2θ=±1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切問(wèn)題、兩圓的根軸問(wèn)題、三角形面積計(jì)算公式、倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．