Question

5．（1）直線線$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+tcos30°}\\{y=3-tsin60°}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）的傾斜角為135°；
（2）已知參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=（t+\frac{1}{t}）sinθ}\\{y=（t-\frac{1}{t}）cosθ}\end{array}\right.$（t≠0）．
①若t為參數(shù)，方程表示什么曲線？
②若θ為參數(shù)，方程表示什么曲線？
（3）參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）表示什么曲線？

Answer 1

分析 （1）求出直線的普通方程，由此能求出直線的傾斜角．
（2）①當(dāng)sinθ=0時(shí)，方程表示一條直線，即y軸；當(dāng)cosθ=0時(shí)，表示x軸上的兩條射線；當(dāng)sinθ≠0，且cosθ≠0時(shí)，表示雙曲線．
②t≠±1時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，當(dāng)t=1時(shí)，表示x軸上的一條線段．
（3）先把參數(shù)方程化成普通方程，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵直線$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+tcos30°}\\{y=3-tsin60°}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t，得直線的普通方程為：x+y-1=0，
∴直線的斜率k=-1，∴直線的傾斜角為135°．
故答案為：135°．
（2）①∵參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=（t+\frac{1}{t}）sinθ}\\{y=（t-\frac{1}{t}）cosθ}\end{array}\right.$（t≠0），t為參數(shù)，
∴當(dāng)sinθ=0時(shí)，方程表示一條直線，即y軸；當(dāng)cosθ=0時(shí)，表示x軸上的兩條射線；
當(dāng)sinθ≠0，且cosθ≠0時(shí)，把參數(shù)方程化為普通方程，得：
$\frac{{x}^{2}}{si{n}^{2}θ}+\frac{{y}^{2}}{co{s}^{2}θ}$=2（${t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}$），表示雙曲線．
②∵參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=（t+\frac{1}{t}）sinθ}\\{y=（t-\frac{1}{t}）cosθ}\end{array}\right.$（t≠0），θ為參數(shù)，
∴t≠±1時(shí)，$\frac{{x}^{2}}{（t+\frac{1}{t}）^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{（t-\frac{1}{t}）^{2}}$=1，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
當(dāng)t=1時(shí)，表示x軸上的一條線段．
（3）參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）化成普通方程得：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的傾斜角的求法，考查曲線形狀的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程和普通方程的合理運(yùn)用．