Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，右焦點(diǎn)為（2$\sqrt{2}$，0），過點(diǎn)P（-2，1）斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，c=2$\sqrt{2}$，解得a=2$\sqrt{3}$，b=2，即可得出；
（2）由點(diǎn)斜式得直線方程為y=x+3，設(shè)直線與橢圓相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為4x²+18x+15=0，由韋達(dá)定理，再利用弦長公式即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，c=2$\sqrt{2}$，解得a=2$\sqrt{3}$，b=2，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）由點(diǎn)斜式得直線方程為y=x+3，設(shè)直線與橢圓相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立直線與橢圓，化為4x²+18x+15=0，
由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=-$\frac{9}{2}$，x₁x₂=$\frac{15}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}•\sqrt{（-\frac{9}{2}）^{2}-4•\frac{15}{4}}$=$\frac{\sqrt{42}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦的中點(diǎn)問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．