Question

10．已知函數(shù)f（x）=m（x-1）e^x+$\frac{1}{2}$x²（m∈R），其導函數(shù)f′（x），若對任意的x＜0，不等式x²+（m+1）x＞f′（x）恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． （0，1）
• B． （-∞，1）
• C． （-∞，1]
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 求出f（x）的導數(shù)，問題轉化為me^x-x-m＞0在x＜0恒成立，構造函數(shù)g（x）=me^x-x-m，（x＜0），結合函數(shù)的單調性通過討論m的范圍確定函數(shù)的單調區(qū)間，求出m的具體范圍即可．

解答 解：f′（x）=x（me^x+1）；
∴由不等式x²+（m+1）x＞f′（x），
得，x²+（m+1）x＞x（me^x+1）；
∵x＜0；
∴me^x-x-m＞0；
令g（x）=me^x-x-m，（x＜0），
則g′（x）=me^x-1，
當m≤1時，g（x）≤e^x-1＜0，
則g（x）在（-∞，0）遞減，
∴g（x）＞g（0）=0，符合題意，
m＞1時，g（x）在（-∞，-lnm）遞減，在（-lnm，0）遞增，
∴g（x）_min=g（-lnm）＜g（0）=0，不合題意，
∴m的取值范圍為（-∞，1]；
故選：C．

點評 考查根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)的單調性，及求函數(shù)的單調區(qū)間的方法，函數(shù)單調性定義的運用，根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的極值及最值，根據(jù)函數(shù)單調性的定義求函數(shù)的最小值．