Question

16．設(shè)實(shí)數(shù)a≤2，已知函數(shù)f（x）=$\frac{a+a（2-a）^{2}}{ax-{x}^{2}}$，x∈（0，a），若存在a，x₀，使得f（x₀）≤2，則x₀的取值集合為{1}．

Answer 1

分析 x∈（0，a），a≤2，可得ax-x²=x（a-x）＞0．由于存在a，x₀，使得f（x₀）≤2，使得函數(shù)$\frac{a+a（2-a）^{2}}{a{x}_{0}-{x}_{0}^{2}}$≤2，化為$2（{x}_{0}^{2}-a{x}_{0}）$≤-[a+a（2-a）²]，可得$[2（{x}_{0}^{2}-a{x}_{0}）]_{min}$≤-[a+a（2-a）²]，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得：$2（{x}_{0}^{2}-a{x}_{0}）$$≥-\frac{{a}^{2}}{2}$，即可解出a．進(jìn)而得出．

解答 解：∵x∈（0，a），a≤2，
∴ax-x²=x（a-x）＞0，
由于存在a，x₀，使得f（x₀）≤2，
∴函數(shù)$\frac{a+a（2-a）^{2}}{a{x}_{0}-{x}_{0}^{2}}$≤2，
化為$2（{x}_{0}^{2}-a{x}_{0}）$≤-[a+a（2-a）²]，
∵$2（{x}_{0}^{2}-a{x}_{0}）$=2$（{x}_{0}-\frac{a}{2}）^{2}$-$\frac{{a}^{2}}{2}$$≥-\frac{{a}^{2}}{2}$，
∴$-\frac{{a}^{2}}{2}$≤-[a+a（2-a）²]，
化為2a²-9a+10≤0，
解得$2≤a≤\frac{5}{2}$，
又a≤2，
∴a=2．
∴f（x）=$\frac{2}{2x-{x}^{2}}$，x∈（0，2）．
由$\frac{2}{2x-{x}^{2}}$≤2，x∈（0，2）．
化為（x-1）²≤0，
解得x=1．
∴x₀的取值集合為{1}．
故答案為：{1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了存在性問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、二次函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．