Question

14．函數(shù)f（x）=4x³-3x在（a，a+2）上存在最大值，則實數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{5}{2}$，$-\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 求函數(shù)f（x）=4x³-3x的導(dǎo)數(shù)，研究其最大值取到的位置，由于函數(shù)在區(qū)間（a，a+2）上有最大值，故最大值點的橫坐標(biāo)是集合（a，a+2）的元素，由此可以得到關(guān)于參數(shù)a的等式，解之求得實數(shù)a的取值范圍

解答 解：由題 f′（x）=12x²-3，
令f′（x）＜0解得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$；令f′（x）＞0解得x＜-$\frac{1}{2}$或x＞$\frac{1}{2}$．
由此得函數(shù)在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上是增函數(shù)，在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)．
故函數(shù)在x=-$\frac{1}{2}$處取極大值，判斷知此極大值必是區(qū)間（a，a+2）上的最大值
∴故有a＜-$\frac{1}{2}$…①，a+2$＞-\frac{1}{2}$…②，解②得：a$＞-\frac{5}{2}$，并且f（-$\frac{1}{2}$）＞f（a+2），可得1＞4（a+2）³-3（a+2），…③，解③可得：a＜3．
綜上知a∈（-$\frac{5}{2}$，$-\frac{1}{2}$）
故答案為：（-$\frac{5}{2}$，$-\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)中工具的一個重要運用，要注意把握其作題步驟，求導(dǎo)，確定單調(diào)性，得出最值．