Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是面積為$\sqrt{3}$的正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是面積為$2\sqrt{3}$的菱形，∠ADC為銳角．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求證：PA⊥CD；
（3）求二面角P-AB-D的大�。�

Answer 1

分析 （1）過P作PE⊥CD于E連接AE，證明PE⊥底面ABCD，利用棱錐的體積公式求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）證明△ADC是邊長為2的等邊三角形，則AE⊥CD，根據(jù)三垂線定理可知PA⊥CD；
（3）根據(jù)二面角平面角的定義可知∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角，在三角形APE中求出此角即可．

解答 （1）解：過P作PE⊥CD于E，連接AE，
∵側(cè)面PDC⊥底面ABCD，PE?側(cè)面PDC，且PE⊥CD，
∴PE⊥底面ABCD．
由題意，側(cè)面PDC是面積為$\sqrt{3}$的正三角形，
∴DC=2，PE=$\sqrt{3}$，
∵底面ABCD是面積為$2\sqrt{3}$的菱形，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}•2\sqrt{3}•\sqrt{3}$=2；
（2）證明：∵2×$\frac{1}{2}$AD•DCsin∠ADC=2$\sqrt{3}$，
∴∠ADE=$\frac{π}{3}$，
故△ADC是邊長為2的等邊三角形，
∵E為DC的中點，∴AE⊥CD，
∴PA⊥CD；
（3）解：∵PA⊥CD，AE⊥CD，CD∥AB，∴PA⊥AB．AE⊥AB，
∴∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角，
∵△ADC和△PDC都是邊長為2的正三角形，
∴PE=AE，又∵PE⊥AE，
∴∠APE=45°即二面角P-AB-D的大小為45°．

點評 本題主要考查了棱錐體積是計算，考查直線與平面所成的角，以及平面與平面垂直的性質(zhì)和二面角及其度量，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．