Question

15．已知函數(shù)f（t）=$\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}$，g（x）=cosx•f（sinx）-sinx•f（cosx），x∈（π，$\frac{7π}{12}$）．
（1）求函數(shù)g（x）的值域；
（2）若函數(shù)y=|cos（ωx+$\frac{π}{6}$）|•f（sin（ωx+$\frac{π}{6}$））（ω＞0）在區(qū)間[$\frac{π}{3}$，π]上為增函數(shù)，求實數(shù)ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)g（x），利用輔助角公式化簡，即可求函數(shù)g（x）的值域；
（2）求出y=|cos（ωx+$\frac{π}{6}$）|•f（sin（ωx+$\frac{π}{6}$））（ω＞0）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[\frac{6k-2}{3ω}π，\frac{6k+1}{3ω}π]$，k∈Z，利用函數(shù)y=|cos（ωx+$\frac{π}{6}$）|•f（sin（ωx+$\frac{π}{6}$））（ω＞0）在區(qū)間[$\frac{π}{3}$，π]上為增函數(shù)，求實數(shù)ω的取值范圍．

解答 解：（1）$f（sinx）=\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}}=\sqrt{\frac{{{{（1+sinx）}^2}}}{{{{cos}^2}x}}}=\frac{1+sinx}{|cosx|}$，∵$x∈（π，\frac{7π}{12}）$
∴$f（sinx）=-\frac{1+sinx}{cosx}$，∴cosx•f（sinx）=-1-sinx
同理sinx•f（cosx）=-1-cosx，∴$g（x）=-sinx+cosx=\sqrt{2}cos（x+\frac{π}{4}）$
∵$x∈（π，\frac{7π}{12}）$，∴$x+\frac{π}{4}∈（\frac{5π}{4}，\frac{5π}{3}）$，∴$cos（x+\frac{π}{4}）∈（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{2}）$
∴$g（x）∈（-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
（2）由（1）$y=|cos（ωx+\frac{π}{6}）|•\frac{{1+sin（ωx+\frac{π}{6}）}}{{|cos（ωx+\frac{π}{6}）|}}=sin（ωx+\frac{π}{6}）+1$
∵$π-\frac{π}{3}≤\frac{T}{2}$，$T=\frac{2π}{ω}$，∴$0＜ω≤\frac{3}{2}$
令$2kπ-\frac{π}{2}≤ωx+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z；解之得$\frac{6k-2}{3ω}π≤x≤\frac{6k+1}{3ω}π$，k∈Z
則y=|cos（ωx+$\frac{π}{6}$）|•f（sin（ωx+$\frac{π}{6}$））（ω＞0）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[\frac{6k-2}{3ω}π，\frac{6k+1}{3ω}π]$，k∈Z，
由已知函數(shù)y=|cos（ωx+$\frac{π}{6}$）|•f（sin（ωx+$\frac{π}{6}$））（ω＞0）在區(qū)間[$\frac{π}{3}$，π]上為增函數(shù)，
解之得$6k-2≤ω≤\frac{6k+1}{3}$，
∵$0＜ω≤\frac{3}{2}$，∴k=0，∴$0＜ω≤\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，利用y=Asin（ωx+∅）的圖象特征性質(zhì)的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．