Question

已知方程x²-2ax+b²=0，
（1）若系數(shù)a在[0，2]內(nèi)取值，b在[0，3]內(nèi)取值，求使方程沒有實根的概率．
（2）若系數(shù)a在[0，2]內(nèi)取值，b在[0，3]內(nèi)取值，且a∈N，b∈N求使方程沒有實根的概率．

Answer 1

（1）由于a從區(qū)間[0，2]中任取一個數(shù)，b從區(qū)間[0，3]中任取一個數(shù)，
則試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}這是一個矩形區(qū)域，其面積S_Ω=2×3=6，
設(shè)“方程x²-2ax+b²=0沒有實根”為事件A
則事件A構(gòu)成的區(qū)域為M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a＜b}，
即圖中陰影部分的梯形，其面積SM=6-

1

2

×2×2=4
由幾何概型的概率計算公式可得方程x²-2ax+b²=0沒有實根的概率P（A）=

SM

SΩ

=

4

6

=

2

3

；
（2）a從集{0，1，2}中任取和b從集{0，1，2，3}中任取共有3×4=12種不同情況，
分別為：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），
（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），
（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），
這些事件是等可能發(fā)生的
記“方程x²-2ax+b²=0沒有實根”為事件B，即△=4a²-4b²＜0，即a＜b
則事件B中共包括6種不同情況，分別為：
（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，3），
故P（B）=

6

12

=

1

2

即方程x²-2ax+b²=0沒有實根的概率為

1

2

．