Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)M（-2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：x=ky+1與橢圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，連接MA，MB交直線x=4于P，Q兩點(diǎn)，y_P，y_Q分別為P、Q的縱坐標(biāo)，求證：$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$=$\frac{1}{{y}_{P}}$+$\frac{1}{{y}_{Q}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)M（-2，0），列出方程組，能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由題意得MA的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），從而y_P=$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，同理，${y}_{Q}=\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（k²+2）y²+2ky-3=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能證明$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$=$\frac{1}{{y}_{P}}$+$\frac{1}{{y}_{Q}}$．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)M（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
證明：（Ⅱ）由題意得MA的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），
∴y_P=$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，同理，${y}_{Q}=\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（k²+2）y²+2ky-3=0，
△=4k²+12（k²+2）＞0，
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2k}{{k}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-3}{{k}^{2}+2}$，
∴$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{\frac{-3k}{{k}^{2}+2}}{\frac{-3}{{k}^{2}+2}}$=$\frac{2k}{3}$，
$\frac{1}{{y}_{P}}$+$\frac{1}{{y}_{Q}}$=$\frac{{x}_{1}+2}{6{y}_{1}}+\frac{{x}_{2}+2}{6{y}_{2}}$
=$\frac{{y}_{2}（{x}_{1}+2）+{y}_{1}（{x}_{2}+2）}{6{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{2k{y}_{1}{y}_{2}+3（{y}_{1}+{y}_{2}）}{6{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{k}{3}+\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{2k}{3}$．
∴$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$=$\frac{1}{{y}_{P}}$+$\frac{1}{{y}_{Q}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、根的判別式、韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．