Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{e^x}-a}}{{{e^x}+1}}$是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值．
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并用定義證明．
（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對(duì)一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用f（0）=0，進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞），
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，
即$\frac{1-a}{1+1}=\frac{1-a}{2}$=0，
則a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=$\frac{{e}^{x}+1-2}{{e}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，
則函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞增，
證明：設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{2}{{e}^{{x}_{1}}+1}$-（1-$\frac{2}{{e}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2}{{e}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{e}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）}{（{e}^{{x}_{1}}+1）（{e}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴0＜${e}^{{x}_{1}}$＜${e}^{{x}_{2}}$，
則${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）}{（{e}^{{x}_{1}}+1）（{e}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞增．
（3）若存在實(shí)數(shù)t，使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對(duì)一切x∈[1，2]恒成立，
則f（x²-t²）≥-f（x-t）=f（t-x）．
即x²-t²≥t-x．
即x²+x≥t²+t恒成立，
設(shè)y=x²+x=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵x∈[1，2]，
∴y∈[2，6]，
即t²+t≤2，
即t²+t-2≤0．
解得-2≤t≤1，
即存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)-2≤t≤1時(shí)使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對(duì)一切x∈[1，2]恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，以及不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法以及定義法是解決本題的關(guān)鍵．