分析 (1)由解直角三角形,可得矩形AMPN的面積$S=|PM|•|MC|=\sqrt{3}x(30-x)$,x∈[10,20],運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法,可得值域;
(2)由三角形的面積和題意可得總造價T=T1+T2,即可得到所求;
(3)運(yùn)用基本不等式,計算即可得到所求x=12或18.
解答 解:(1)在Rt△PMC中,顯然|MC|=30-x,∠PCM=60°,
∴$|PM|=|MC|•tan∠PCM=\sqrt{3}(30-x)$,
矩形AMPN的面積$S=|PM|•|MC|=\sqrt{3}x(30-x)$,x∈[10,20],
由x(30-x)≤($\frac{x+30-x}{2}$)2=225,當(dāng)x=15時,可得最大值為225$\sqrt{3}$,
當(dāng)x=10或20時,取得最小值200$\sqrt{3}$,
于是$200\sqrt{3}≤S≤225\sqrt{3}$為所求.
(2)矩形AMPN健身場地造價T1=$37k\sqrt{S}$,
又△ABC的面積為$450\sqrt{3}$,即草坪造價T2=$\frac{12k}{{\sqrt{S}}}(450\sqrt{3}-S)$,
由總造價T=T1+T2,
∴$T=25k(\sqrt{S}+\frac{{216\sqrt{3}}}{{\sqrt{S}}})$,$200\sqrt{3}≤S≤225\sqrt{3}$.
(3)∵$\sqrt{S}+\frac{{216\sqrt{3}}}{{\sqrt{S}}}≥12\sqrt{6\sqrt{3}}$,
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{S}=\frac{{216\sqrt{3}}}{{\sqrt{S}}}$即$S=216\sqrt{3}$時等號成立,
此時$\sqrt{3}x(30-x)=216\sqrt{3}$,解得x=12或x=18,
答:選取|AM|的長為12米或18米時總造價T最低.
點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的運(yùn)用,考查函數(shù)的值域和最值的求法,注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -2 | B. | 2 | C. | 0 | D. | 1 |
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