Question

7．已知0＜a＜2，l₁：ax-2y=2a-4，l₂：2x+a²y=2a²+4，求l₁，l₂與坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積的最小值．

Answer 1

分析 如圖所示，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ax-2y=2a-4}\\{2x+{a}^{2}y=2{a}^{2}+4}\end{array}\right.$，解得y_E=2．根據(jù)S_{四邊形OCEA}=S_△BCE-S_△OAB即可得出．

解答 解：∵0＜a＜2，
可得l₁：ax-2y=2a-4，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A（0，-a+2），B（2-$\frac{4}{a}$，0）．
l₂：2x+a²y=2a²+4，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)C（a²+2，0），D$（0，2+\frac{4}{{a}^{2}}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ax-2y=2a-4}\\{2x+{a}^{2}y=2{a}^{2}+4}\end{array}\right.$，解得y_E=2．
∴S_{四邊形OCEA}=S_△BCE-S_△OAB
=$\frac{1}{2}|BC|•{y}_{E}$-$\frac{1}{2}|OA|•|OB|$
=${a}^{2}+\frac{4}{a}$-$\frac{1}{2}×（2-a）×（\frac{4}{a}-2）$
=a²-a+4
=$（a-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{15}{4}$$≥\frac{15}{4}$，當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴l(xiāng)₁，l₂與坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積的最小值為$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相交直線、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．