Question

18．函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+1）=f（x-1），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x，若方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 若方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)f（x）與y=a（x+1）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由函數(shù)的性質(zhì)可作出它們的圖象，由斜率公式可得邊界，進(jìn)而可得答案．

解答 解：若方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
等價(jià)于函數(shù)f（x）與y=a（x+1）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
由f（x+1）=f（x-1），得f（x+2）=f（x），即函數(shù)的周期為2，且為偶函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：

由于直線y=a（x+1）過定點(diǎn)B（-1，0），
當(dāng)直線過點(diǎn)A（1，2）時(shí)，a=1，恰好不滿足條件．
當(dāng)直線過點(diǎn)A（-2，0）時(shí)，a=$\frac{1}{2}$，恰好滿足條件．
數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1），
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程根的存在性及個(gè)數(shù)的判斷，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．