Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-x+lnx（a＞0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為2，求a的值及在該點處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）是單調函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求a的值及在該點處的切線方程；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)是單調函數(shù)，則導數(shù)的符號相同，建立條件關系即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2ax-1+

1

x

．…（2分）
由題設，f′（1）=2a=2，a=1，
此時f（1）=0，切線方程為y=2（x-1），
即2x-y-2=0．…（5分）
（Ⅱ）f′（x）=

2ax2-x+1

x

．
當a≥

1

8

時，△=1-8a≤0，f′（x）≥0，
f（x）在（0，+∞）單調遞增．…（9分）
當0＜a＜

1

8

時，△＞0，方程2ax²-x+1=0有兩個不相等的正根
x₁=

1- 1-8a

4a

，x₂=

1+ 1-8a

4a

．
當x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）時，f（x）＞0，當x∈（x₁，x₂）時，f（x）＜0，
這時f （x）不是單調函數(shù)．
綜上，a的取值范圍是[

1

8

，+∞）．…（12分）

點評：本題主要考查主要考查導數(shù)的應用，要求熟練掌握導數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系．