Question

15．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{y≤6}\\{4x-3y+4≤0}\end{array}\right.$，若不等式ax³y≤x⁴-y⁴恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-26$\frac{2}{3}$]．

Answer 1

分析 由題意作出其平面區(qū)域，從而可化ax³y≤x⁴-y⁴為a≤$\frac{x}{y}$-$\frac{{y}^{3}}{{x}^{3}}$；而$\frac{y}{x}$的幾何意義是陰影內(nèi)的點（x，y）與點O（0，0）的連線的斜率，從而利用單調性求最值即可．

解答 解：由題意作出其平面區(qū)域，

易知x＞0，y＞0；
故ax³y≤x⁴-y⁴可化為a≤$\frac{x}{y}$-$\frac{{y}^{3}}{{x}^{3}}$；
而$\frac{y}{x}$的幾何意義是陰影內(nèi)的點（x，y）與點O（0，0）的連線的斜率，
而A（2，6），B（3.5，6）；
故k_OB=$\frac{6-0}{3.5-0}$=$\frac{12}{7}$，k_OA=$\frac{6-0}{2-0}$=3；
故$\frac{12}{7}$≤$\frac{y}{x}$≤3；
故當$\frac{y}{x}$=3時，$\frac{x}{y}$-$\frac{{y}^{3}}{{x}^{3}}$有最小值$\frac{1}{3}$-3³=-26$\frac{2}{3}$；
故a≤-26$\frac{2}{3}$；
故實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-26$\frac{2}{3}$]．
故答案為：（-∞，-26$\frac{2}{3}$]．

點評 本題考查了簡單線性規(guī)劃，作圖要細致認真，用到了表達式的幾何意義的轉化，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．