Question

4．求證：△ABC的三條高線交于一點(diǎn)．

Answer 1

分析 建立直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)的連線的斜率公式求出AB的斜率，利用兩直線垂直斜率互為倒數(shù)得到AB邊上的高的斜率，利用點(diǎn)斜式求出AB邊的高的方程，同理求出AC邊上的高，兩高線的方程聯(lián)立得到高線的交點(diǎn)．

解答 證明：取△ABC最長一邊BC所在的直線為X軸，經(jīng)過A的高線為Y軸，設(shè)A、B、C的坐標(biāo)分別為A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），根據(jù)所選坐標(biāo)系，如圖，有a＞0，b＜0，c＞0，AB的方程為$\frac{x}+\frac{y}{a}=1$，其斜率為-$\frac{a}$，AC的方程為$\frac{x}{c}+\frac{y}{a}=1$，其斜率為-$\frac{a}{c}$，
高線CE的方程為y=$\frac{a}$（x-c）（1）高線BD的方程為y=$\frac{c}{a}$（x-b）（2）．
解（1）、（2），得：（b-c）x=0
∵b-c≠0∴x=0
即高線CE、BD的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，也即交點(diǎn)在高線AO上．
因此，三條高線交于一點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查通過建立直角坐標(biāo)系將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題、考查兩點(diǎn)連線的斜率公式、考查兩直線垂直斜率乘積為-1、考查兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法．