Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=3，S₇=28．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=（-1）ⁿ•$\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，聯(lián)立a₃=a₁+2d=3與S₇=7a₁+$\frac{7×6}{2}$d=28，可求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）裂項(xiàng)知，b_n=（-1）ⁿ（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則
a₃=a₁+2d=3，S₇=7a₁+$\frac{7×6}{2}$d=28，
解得：a₁=1，d=1，
所以a_n=1+n-1=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=（-1）ⁿ•$\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ$\frac{2n+1}{n（n+1）}$=（-1）ⁿ（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T_n=-（1+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）-…-（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）=-1-$\frac{1}{n+1}$=-$\frac{n+2}{n+1}$；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T_n=-（1+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）-…+（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）=-1+$\frac{1}{n+1}$=-$\frac{n}{n+1}$；
綜上，T_n=-1+$\frac{（-1）^{n}}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分類討論的思想，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．