Question

15．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，G為ABC的重心，延長線段AG交BC于F，B₁F交BC₁于E．
（1）求證：GE∥平面AA₁B₁B；
（2）平面AFB₁分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．

Answer 1

分析 （1）連接AB₁，在平行四邊形BCC₁B₁中，由△BEF∽△C₁EB₁，可得$\frac{{B}_{1}E}{EF}=\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{BF}=2$，再由G為ABC的重心，得到$\frac{AG}{GF}=2$，說明EG∥AB₁，然后利用線面平行的判定可得GE∥平面AA₁B₁B；
（2）設(shè)底面ABC的面積為2S，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高為h，求出棱錐體積，由棱柱體積與棱錐體積作差得到多面體ACF-A₁B₁C₁的體積，則答案可求．

解答 （1）證明：如圖，連接AB₁，在平行四邊形BCC₁B₁中，
∵B₁F∩BC₁=E，可知△BEF∽△C₁EB₁，
∵F為BC的中點(diǎn)，
∴$\frac{{B}_{1}E}{EF}=\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{BF}=2$，
又G為ABC的重心，
∴$\frac{AG}{GF}=2$，則$\frac{{B}_{1}E}{EF}=\frac{AG}{GF}=2$，
∴EG∥AB₁，
∵AB₁?平面AA₁B₁B，EG?平面AA₁B₁B，
∴GE∥平面AA₁B₁B；
（2）解：設(shè)底面ABC的面積為2S，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高為h，
則${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=2Sh$，${V}_{{B}_{1}-AFB}=\frac{1}{3}Sh$，
∴${V}_{ACF-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=2Sh-\frac{1}{3}Sh=\frac{5}{3}Sh$．
∴${V}_{ACF-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$：${V}_{{B}_{1}-AFB}$=5：1．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了棱錐體積的求法，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．