Question

18．已知函數(shù)y=$2sin（2ωx-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期為π
（Ⅰ）求ω的值及該函數(shù)的對稱軸方程；
（Ⅱ）該函數(shù)的圖象可由y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換可以得到？
（Ⅲ）求函數(shù)在$[0，\frac{π}{2}]$上的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω，再利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性求得該函數(shù)的對稱軸方程．
（Ⅱ）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
（Ⅲ）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)在$[0，\frac{π}{2}]$上的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)y=$2sin（2ωx-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期為$\frac{2π}{2ω}$=π，求得ω=1，
故y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，令2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得對稱軸方程為 x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
（Ⅱ）由y=sin2x（x∈R）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位，可得y=2sin2（x-$\frac{π}{12}$）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把所得圖象向上平移$\frac{1}{2}$個單位，可得 y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$的圖象．
（Ⅲ）x∈$[0，\frac{π}{2}]$時，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，故y∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．