Question

6．在邊長為6的正三角形ABC中，設(shè)$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CA}$=2$\overrightarrow{CE}$，則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=-6．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用向量的數(shù)量積運算及加減法運算把$\overrightarrow{AD}、\overrightarrow{BE}$用基底$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{BC}$表示，則答案可求．

解答 解：如圖，∵$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CA}$=2$\overrightarrow{CE}$，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）•（\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}）$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{1}{6}|\overrightarrow{BC}{|}^{2}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$
=$-\frac{1}{2}×36+\frac{1}{6}×36+\frac{1}{3}×6×6×cos60°$
=-12+6=-6．
故答案為：-6．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量的加減法，關(guān)鍵是把要求數(shù)量積的兩個向量用一組基底表示，是中檔題．