Question

9．若$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，則向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$的夾角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 把已知的等式兩邊平方可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，設向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$的夾角為θ，可得$cosθ=\frac{1}{2}$，則答案可求．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|，
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}$，兩邊平方可得，
${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$，
化簡可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，
設向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$的夾角為θ，
則可得cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{2|\overrightarrow{a}{|}^{2}}=\frac{1}{2}$，
又θ∈[0，π]，故θ=$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查數(shù)量積表示兩個向量的夾角，是基礎的計算題．