Question

10．已知函數$f（x）=cos（2πx+\frac{π}{3}）$，若對任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可知f（x₁）是f（x）的最小值，f（x₂）是f（x）的最大值，它們分別在最低和最高點取得，它們的橫坐標最少相差半個周期，由三角函數式知周期的值，結果是周期的值的一半．

解答 解：∵對任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
∴f（x₁）是函數f（x）的最小值，f（x₂）是函數f（x）的最大值．
∴|x₁-x₂|的最小值為函數的半個周期，
∵T=$\frac{2π}{2π}=1$，
∴|x₁-x₂|的最小值為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查三角函數的圖象和最值，關鍵是對題意的理解，屬中檔題．