Question

5．已知點A（-2，0）、B（0，4），點P在圓C（x-3）²+（y-4）²=5上，則使∠APB=90°的點P的個數為1．

Answer 1

分析 設P（x，y），要使∠APB=90°，只要求出P到AB中點的距離以及圓上的所有點到AB中點距離范圍．

解答 解：設P（x，y），要使∠APB=90°，那么P到AB中點（-1，2）的距離為$\sqrt{（x+1）^{2}+（y-2）^{2}}$=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，
而圓上的所有點到AB中點距離范圍為[$\sqrt{（3+1）^{2}+（4-2）^{2}}$-$\sqrt{5}$，$\sqrt{（3+1）^{2}+（4-2）^{2}}$+$\sqrt{5}$]，即[$\sqrt{5}$，3$\sqrt{5}$]，
所以使∠APB=90°的點P的個數只有一個，就是AB中點與圓心連線與圓的交點．
故答案為：1．

點評 本題考查了點與圓的位置關系的判斷；關鍵是明確線段AB中點與圓上點的距離范圍．