Question

13．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺），其總成本為G（x）萬元，其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)100臺的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入R（x）滿足R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+4.2x-0.8（0≤x≤5）}\\{10.2（x＞5）}\end{array}\right.$，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律：
（1）要使工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量x應(yīng)控制在什么范圍？
（2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時盈利最大？此時每臺產(chǎn)品售價為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)利潤=銷售收入-總成本，列出解析式；要使工廠有贏利，即解不等式f（x）＞0，分0≤x≤5時和x＞5時分別求解即可；
（2）分別求出0≤x≤5時和x＞5時f（x）的最大值，取最大的即可．

解答 解：依題意，G（x）=x+2，設(shè)利潤函數(shù)為f（x），則
f（x）=R（x）-G（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+3.2x-2.8，（0≤x≤5）}\\{8.2-x，（x＞5）}\end{array}\right.$
（1）要使工廠有贏利，即解不等式f（x）＞0，當(dāng)0≤x≤5時，
解不等式-0.4x²+3.2x-2.8＞0．
即x²-8x+7＜0．
∴1＜x＜7，∴1＜x≤5．（2分）
當(dāng)x＞5時，解不等式8.2-x＞0，得x＜8.2．
∴5＜x＜8.2．
綜上，要使工廠贏利，x應(yīng)滿足1＜x＜8.2，
即產(chǎn)品應(yīng)控制在大于100臺，小于820臺的范圍內(nèi)．
（2）0≤x≤5時，f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，
故當(dāng)x=4時，f（x）有最大值3.6．
而當(dāng)x＞5時，f（x）＜8.2-5=3.2所以，當(dāng)工廠生產(chǎn)400萬臺產(chǎn)品時，贏利最多．
又x=4時，$\frac{R（4）}{4}$=240（元/臺），
故此時每臺產(chǎn)品售價為240（元/臺）．

點評 本題考查利用函數(shù)知識解決應(yīng)用題的有關(guān)知識．新高考中的重要的理念就是把數(shù)學(xué)知識運用到實際生活中，如何建模是解決這類問題的關(guān)鍵．同時要熟練地掌握分段函數(shù)的求最值問題及解不等式問題．