Question

19．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{{{2^n}-1}}＞\frac{n}{2}（n∈{N^*}）$，假設(shè)n=k時(shí)成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． k-1
• C． k
• D． 2^k

Answer 1

分析 當(dāng)n=k時(shí)，寫(xiě)出左端，并當(dāng)n=k+1時(shí)，寫(xiě)出左端，兩者比較，關(guān)鍵是最后一項(xiàng)和增加的第一項(xiàng)的關(guān)系

解答 解：當(dāng)n=k時(shí)，左端=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…$+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)  左端=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…$+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…$+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}-1}$，
∴左端增加的項(xiàng)為$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}-1}$，所以項(xiàng)數(shù)為：2^k．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明，其中關(guān)鍵一步就是從k到k+1，是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，解答過(guò)程中關(guān)鍵是注意最后一項(xiàng)與增添的第一項(xiàng)．