Question

13．已知f（x）=（1+x）^m+（1+3x）ⁿ （m、n∈N^*）的展開(kāi)式中x的系數(shù)為11．
（1）求x²的系數(shù)的最小值；
（2）當(dāng)x²的系數(shù)取得最小值時(shí)，求f（x）展開(kāi)式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和．

Answer 1

分析 （1）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的x的系數(shù)，列出方程得到m，n的關(guān)系；利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出x²的系數(shù)，將m，n的關(guān)系代入得到關(guān)于m的二次函數(shù)，配方求出最小值
（2）通過(guò)對(duì)x分別賦值1，-1，兩式子相加求出展開(kāi)式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和．

解答 解：（1）由題意得：${C}_{m}^{1}+3{C}_{n}^{1}$=11，即：m+3n=11．-----------------------（2分）
x²的系數(shù)為：${C}_{m}^{2}+{3}^{2}{C}_{n}^{2}$=$\frac{m（m-1）}{2}+\frac{9n（n-1）}{2}$=9（n-2）²+19-------------------（4分）
當(dāng)n=2時(shí)，x²的系數(shù)的最小值為19，此時(shí)m=5---------------------（6分）
（2）由（1）可知：m=5，n=2，則f（x）=（1+x）⁵+（1+3x）²
設(shè)f（x）的展開(kāi)式為f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵----------------------（8分）
令x=1，則f（1）=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅
令x=-1，則f（-1）=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅-------------------------------------（10分）
則a₁+a₃+a₅=$\frac{f（1）-f（-1）}{2}$=22，所求系數(shù)之和為22--------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式的特殊項(xiàng)問(wèn)題；利用賦值法求二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和問(wèn)題．