Question

13．已知a，b∈R，且a＜b，若ae^b=be^a（為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列正確的是（　�。�

• A． a＜-1，-1＜b＜0
• B． 1＜a＜2，b＞2
• C． 0＜a＜1，b＞1
• D． 0$＜a＜\frac{1}{e}$，b$＜\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 構造函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，即可得到結論．

解答 解：設f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，則f'（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴f（x）在（-∞，1）為增函數(shù)，（1，+∞）減函數(shù)，
∵ae^b=be^a，
∴$\frac{a}{{e}^{a}}$=$\frac{{e}^}$，
∴f（a）=f（b），
∵當x＜0時，f（x）＜0，
∴a＞0，b＞0，
∵a＜b，
∴0＜a＜1，b＞1，
故選：C．

點評 本題主要考查指數(shù)冪的大小比較，利用條件構造函數(shù)，研究函數(shù)的單調性是解決本題的關鍵．