Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₃=5，S₈=64
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：$\frac{1}{{{S_{n-1}}}}+\frac{1}{{{S_{n+1}}}}＞\frac{2}{S_n}（n≥2，n∈{N^*}）$．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，通過a₃=5，S₈=64可得首項和公差，計算即可；
（2）通過（1）可知S_n=n²，利用不等式的性質(zhì)化簡可得原命題成立只需3n²＞1在n≥1時恒成立．

解答 （1）解：設等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
根據(jù)題意，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}={a}_{1}+2d=5}\\{{S}_{8}=8{a}_{1}+28d=64}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=2n-1；
（2）證明：由（1）可知：S_n=n²，
要證$\frac{1}{{{S_{n-1}}}}+\frac{1}{{{S_{n+1}}}}＞\frac{2}{S_n}（n≥2，n∈{N^*}）$恒成立，
只需證：$\frac{1}{（n-1）^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}＞\frac{2}{{n}^{2}}$，
只需證：[（n+1）²+（n-1）²]n²＞2（n²-1）²，
只需證：（n²+1）n²＞（n²-1）²，
只需證：3n²＞1，
而3n²＞1在n≥1時恒成立，且以上每步均可逆，
從而$\frac{1}{{{S_{n-1}}}}+\frac{1}{{{S_{n+1}}}}＞\frac{2}{S_n}（n≥2，n∈{N^*}）$恒成立．

點評 本題考查等差數(shù)列的簡單性質(zhì)，利用不等式的性質(zhì)進行化簡是解決本題的關鍵，屬于中檔題．