Question

14．已知拋物線過點（0，1）和（0，-1），其準線為圓x²+y²=4的切線，則該拋物線焦點的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$（y≠0）．

Answer 1

分析 設(shè)出切線方程，表示出圓心到切線的距離求得a和b的關(guān)系，再設(shè)出焦點坐標，根據(jù)拋物線的定義求得點A，B到準線的距離等于其到焦點的距離，然后兩式平方后分別相加和相減，聯(lián)立后，即可求得x和y的關(guān)系式．

解答 解：設(shè)切線ax+by-1=0，則圓心到切線距離等于半徑
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=2，
∴a²+b²=$\frac{1}{4}$
設(shè)拋物線焦點為（x，y），根據(jù)拋物線定義可得$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=$\frac{|b-1|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$
$\sqrt{{x}^{2}+（y+1）^{2}}$=$\frac{|-b-1|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$
平方相加得：x²+y²+1=4（b²+1）①
平方相減得：y=4b，
∴b=$\frac{y}{4}$②
把②代入①可得：x²+y²+1=4（$\frac{{y}^{2}}{16}$+1）
即：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$
∵焦點不能與A，B共線
∴y≠0
∴$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$（y≠0）
∴拋物線的焦點軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$（y≠0）．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$（y≠0）．

點評 本題以圓為載體，考查拋物線的定義，考查軌跡方程，解題時利用圓的切線性質(zhì)，拋物線的定義是關(guān)鍵．