Question

6．寧德至福州鐵路里程約為100km，和諧號(hào)動(dòng)車從寧德站出發(fā)，前2分鐘內(nèi)變速運(yùn)行，其速度v（米/分鐘）關(guān)于時(shí)間t（分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系：v（t）=at³+bt²+ct+d，且v'（0）=v'（2）=0，之后勻速行駛24分鐘，再減速行駛5km至終點(diǎn)（福州站）．
（Ⅰ）求：前2分鐘速度v（t）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）求動(dòng)車運(yùn)行過程中速度的最大值．

Answer 1

分析 （ I）求出v（t）的導(dǎo)數(shù)，由條件可得c=d=0，b=-3a，由積分的運(yùn)算可得a=-950，即可得到v（t）的解析式；
（ II）求得函數(shù)v（t）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，求得極值、最值即可得到速度的最大值．

解答 解：（ I）∵v（t）=at³+bt²+ct+d
∴v′（t）=3at²+2bt+c，
又∵v′（0）=v′（2）=0，v（0）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ d=0\\ 12a+4b=0\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ d=0\\ b=-3a\end{array}\right.$，
∴v（t）=at³-3at²，
v（2）=8a-12a=-4a；
則前2分鐘運(yùn)行的路程為${s_1}=\int_0^2{（a{t^3}-3a{t^2}）dt}=（\frac{{a{t^4}}}{4}-a{t^3}）|_0^2=-4a$．
依題意得：100×1000-5×1000+4a=24•v（2）
即95000+4a=24×（-4a），解得a=-950，
∴v（t）=-950t³+2850t²（0≤t≤2）；                           
（ II）∵v（t）=-950t³+2850t²（0≤t≤2）
∴v′（t）=-950•3t²+2•2850t=-2850t（t-2）≥0，（0≤t≤2）
∴v（t）在[0，2]上為增函數(shù)，∴當(dāng)t=2時(shí)，v（t）_max=v（2）=3800米/分鐘．
∴動(dòng)車在行使過程中的最大速度為3800米/分鐘．

點(diǎn)評(píng) 本題考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．