Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S₁=2，S_n+1=3S_n+2．
（Ⅰ）求通項公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

an

S 2 n

，求證：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用S_n+1=3S_n+2，推出{S_n+1}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，求出通項公式，然后求解a₁，n＞1時，利用a_n=S_n-S_n-1，即可求通項公式a_n；
（Ⅱ）化簡b_n=

an

S 2 n

，通過裂項法求和，得到b₁+b₂+…+b_n與1的大小即可．

解答： （Ⅰ）解：∵S_n+1=3S_n+2，∴S_n+1+1=3（S_n+1）．
 又∵S₁+1=3，∴{S_n+1}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴Sn=3n-1，n∈N*．
 n=1時，a₁=S₁=2，n＞1時，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=3^n-1（3-1）=2×3^n-1．
故an=2×3n-1，n∈N*．
（Ⅱ）證明：∵bn=

2×3n-1

(3n-1)2

＜

2×3n-1

(3n-1-1)(3n-1)

=

1

3n-1-1

-

1

3n-1

，(n＞1)
∴b1+b2+…+bn＜

1

2

+(

1

31-1

-

1

32-1

)+(

1

32-1

-

1

33-1

)+…+(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)=

1

2

+

1

2

-

1

3n-1

＜1．

點評：本題考查數(shù)列的求和，裂項法的應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．