Question

已知定義在R上的任意函數(shù)f（x）=lg（10^x+1），x∈R，可以表示成一個(gè)奇函數(shù)g（x）與偶函數(shù)h（x）的和，求g（x）與h（x）解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意：f（x）=g（x）+h（x）=lg（10^x+1），而g（x）是奇函數(shù)，h（x）是偶函數(shù)，因?yàn)閒（x）=lg（10^x+1），所以f（-x）=-g（x）+h（x）=lg（10^-x+1）=lg（10^x+1）-x，由此能求出g（x）與h（x）解析式．

解答： 解：根據(jù)題意：f（x）=g（x）+h（x）=lg（10^x+1），①
而g（x）是奇函數(shù)，h（x）是偶函數(shù)，
因?yàn)閒（x）=lg（10^x+1），
所以f（-x）=-g（x）+h（x）
=lg（10^-x+1）=lg（

10x+1

10x

）=lg（10^x+1）-x，②
①-②得：2g（x）=x，即：g（x）=

x

2

，
①+②得：2h（x）=2lg（10^x+1）-x，
即：h（x）=lg（10^x+1）-

x

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的奇偶性和對(duì)數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．