Question

19．函數(shù)f（x）=（a-1）ln x+$\frac{a}{x}$+bx+2（a，b∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x-y+1=0，求實數(shù)a，b的值；
（2）已知b=1，當x＞1時，f（x）＞0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題知得f（1）=b+a+2=2，f′（1）=b-1=1，解得a=-2，b=2；
（2）當b=1時，f（x）=（a-1）lnx+$\frac{a}{x}$+x+2，
f′（x）=$\frac{a-1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$+1=$\frac{（x-1）（x+a）}{{x}^{2}}$
分以下兩種情況討論：當a≥-1，當a＜-1，求出最小值，只需f（x）_min＞0即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{a-1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$+b．
由題知得f（1）=b+a+2=2，f′（1）=b-1=1，解得a=-2，b=2…（5分）
（2）當b=1時，f（x）=（a-1）lnx+$\frac{a}{x}$+x+2，
∴f′（x）=$\frac{a-1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$+1=$\frac{（x-1）（x+a）}{{x}^{2}}$…（7分）
當a≥-1時，-a≤1，當x＞1時，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當x＞1時，f（x）＞f（1）=a+3≥2，∴a≥-1滿足題意…（9分）
當a＜-1時，-a＞1，當1＜x＜-a時，f′（x）＜0，當x＞-a時，f′（x）＞0，
∴f（x）在區(qū)間（1，-a）上是減函數(shù)，在區(qū)間（-a，+∞）是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（-a）=（a-1）ln（-a）+$\frac{a}{-a}$-a+2=（a-1）ln（-a）-a+1，
由題知f（x）_min=（a-1）ln（-a）-a+1＞0，解得a＞-e，
∴-e＜a＜-1…（11分）
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（-e，+∞）．（12分）

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查了分類討論思想，屬于中檔題．