Question

12．函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的導函數(shù)y=f′（x）的部分圖象如圖所示，其中，A，C為圖象與x軸的兩個交點，B為圖象的最低點，P為圖象與y軸的交點．若在曲線段$\widehat{ABC}$與x軸所圍成的區(qū)域內隨機取一點，則該點在△ABC內的概率為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 先利用定積分的幾何意義，求曲線段$\widehat{ABC}$與x軸所圍成的區(qū)域面積，再求三角形ABC的面積，最后利用幾何概型概率計算公式求面積之比即可得所求概率

解答 解：∵f′（x）=ω cos（ωx+φ），
∴曲線段$\widehat{ABC}$與x軸所圍成的區(qū)域面積為${∫}_{\frac{π-2φ}{2ω}}^{\frac{3π-φ}{2ω}}$[-f′（x）]dx=-sin$\frac{3π}{2}$-（-sin$\frac{π}{2}$）=2
三角形ABC的面積為$\frac{ω×\frac{π}{ω}}{2}$=$\frac{π}{2}$
∴在曲線段$\widehat{ABC}$與x軸所圍成的區(qū)域內隨機取一點，則該點在△ABC內的概率為P=$\frac{\frac{π}{2}}{2}$=$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題主要考查了f（x）=Asin （ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質，導數(shù)運算及導函數(shù)與原函數(shù)的關系，定積分的幾何意義，幾何概型概率的計算方法，屬中檔題．