Question

【題目】已知曲線的方程為，過原點作斜率為的直線和曲線相交，另一個交點記為，過作斜率為的直線和曲線相交，另一個交點記為，過作斜率為的直線和曲線相交，另一個交點記為，……，如此下去，一般地，過作斜率為的直線和曲線相交，另一個交點記為，設點.

（1）指出，并求與的關系式；

（2）求的通項公式，并指出點列，，……，，……向哪一點無限接近？說明理由；

（3）令，數列的前項和為，設，求所有可能的乘積的和.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；向點無限接近；（3）.

【解析】

（1）設點，則點，利用曲線的相交關系，聯立方程組求解，即可得出結果；

（2）先由（1）的結果，得到，推出，再由累加法，即可求出通項公式；求數列的極限，結合雙曲線的方程，即可求出無限接近的點；

（3）先由（2）得到，求出，利用矩陣研究，根據等比數列的求和公式，以及分組求和的方法，即可求出結果.

（1）由題意得，，設點，則點，

由題意得，所以；

（2）分別用、代換中的，得

，解得：，

所以，，，…，，

以上各式相加得：，

又，所以，；

因為，由代入可得：；

所以點列，，……，，……向點無限接近；

（3）因為，所以其前項和，

因此，，

將所得的積排成如下矩陣：，

設矩陣的各項和為.

在矩陣的左下方補上相應的數可得：，

矩陣中第一行的各數和，

矩陣中第二行的各數和，

……

矩陣中第行的各數和，

從而矩陣中所有數之和為

；

因此，所有可能的乘積的和為：

.