Question

2．已知關(guān)于x的不等式ax²-x-a+1＞0，若a∈R，求不等式的解集．

Answer 1

分析 討論a與0的大小，將不等式進(jìn)行因式分解，然后討論兩根的大小，從而求出不等式的解集

解答 解：當(dāng)a=0時(shí)，x＜1．                                               
當(dāng)a≠0時(shí)，原不等式變形為（x-1）（ax+a-1）＞0，
當(dāng)a＜0時(shí)，（ x+$\frac{a-1}{a}$ ） （ x-1 ）＜0，解得 $\frac{1-a}{a}$＜x＜1；               
當(dāng)$\frac{1-a}{a}＞1$即0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，（ x+$\frac{a-1}{a}$ ） （ x-1 ）＞0，解得x＜1或者x＞$\frac{1-a}{a}$．
當(dāng)$\frac{1-a}{a}$＜1即a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，原不等式，（ x+$\frac{a-1}{a}$ ） （ x-1 ）＞0，解得x＞1或者x＜$\frac{1-a}{a}$．
當(dāng)$\frac{1-a}{a}=1$即a=$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式為（x-1）²＞0，解得x≠1；
綜上不等式的解集為：當(dāng)a＜0時(shí)，{x|$\frac{1-a}{a}$＜x＜1 }；
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，{x|x＜1或者x＞$\frac{1-a}{a}$}；
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，{x|x＞1或者x＜$\frac{1-a}{a}$}；
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，{x|x≠1}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了不等式的求解，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是討論的標(biāo)準(zhǔn)，屬于中檔題