Question

9．若點A（0，-1），點B在直線y=-3上，點M滿足，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{MB}$∥$\overrightarrow{OA}$，點M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）點P為曲線C上的動點，直線l為曲線C在點P處的切線，求O到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)M（x，y），由已知得B（x，-3），A（0，-1）并代入$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{MB}$∥$\overrightarrow{OA}$，即可求得M點的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）為C上的點，求導(dǎo)，寫出C在P點處的切線方程，利用點到直線的距離公式即可求得O點到l距離，然后利用基本不等式求出其最小值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點M（x，y），∵$\overrightarrow{MB}$∥$\overrightarrow{OA}$，∴B（x，-3），
∴$\overrightarrow{MA}=（-x，-1-y）$，$\overrightarrow{MB}=（0，-3-y）$，$\overrightarrow{AB}=（x，-2）$，
∴$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=（-x，-4-2y）$，
∵$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{AB}$
=（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴（-x，-4-2y）•（x，-2）=0，
即為-x²+2（4+2y）=0，即有$y=\frac{1}{4}{x^2}-2$，
∴曲線C的方程 $y=\frac{1}{4}{x^2}-2$；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），∵$y=\frac{1}{4}{x^2}-2$，
∴${y^/}=\frac{1}{2}x$，$k=\frac{1}{2}{x_0}$，
∴l(xiāng)：$y-{y_0}=\frac{1}{2}{x_0}（x-{x_0}）$，即${x_0}x-2y+2{y_0}-x_0^2=0$，
∴O到直線l的距離$d=\frac{{|2{y_0}-{x_0}^2|}}{{\sqrt{{x_0}^2+4}}}$=$\frac{{\frac{1}{2}{x_0}^2+4}}{{\sqrt{{x_0}^2+4}}}$=$\frac{1}{2}（\frac{4}{{\sqrt{{x_0}^2+4}}}+\sqrt{x_0^2+4}）$，
∵$\frac{4}{{\sqrt{{x_0}^2+4}}}+\sqrt{x_0^2+4}≥4$，d≥2，
∴當(dāng)且僅當(dāng)x₀=0時，d_min=2．

點評 此題是個中檔題．考查向量與解析幾何的交匯點命題及代入法求軌跡方程，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點到直線的距離公式，綜合性強(qiáng)，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．