Question

下列判斷：
①若

a2

+

b2

=0，則

a

=

b

=0；
②已知

a

，

b

，

c

是三個(gè)非0向量，若

a

+

b

=0，則|

a

•

c

|=|

b

•

c

|；
③

a

、

b

共線?

a

•

b

=|

a

||

b

|；
④|

a

||

b

|＜2

a

•

b

；
⑤

a

•

a

•

a

=|

a

|³；
⑥

a2

+

b2

≥2

a

•

b

；
⑦非零向量

a

，

b

滿足：

a

•

b

＞0，則

a

與

b

夾角為銳角；
⑧若

a

，

b

的夾角為θ，則|

b

|cosθ表示向量

b

在向量

a

方向上的投影長(zhǎng)，
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,平面向量及應(yīng)用

分析：由向量的平方即為模的平方，即可判斷①；運(yùn)用相反向量的定義，即可判斷②；由向量同向和反向，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義，即可判斷③；運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和向量的夾角，即可判斷④；由向量的平方即為模的平方，即可判斷⑤；運(yùn)用重要不等式和向量的數(shù)量積的性質(zhì)，即可判斷⑥；運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和向量的夾角的定義，即可判斷⑦；由向量的投影的概念，即可判斷⑧．

解答： 解：對(duì)于①，若

a2

+

b2

=0，即|

a

|²+|

b

|²=0，則|

a

|=|

b

|=0即

a

=

b

=

0

，則①正確；
對(duì)于②，由

a

，

b

，

c

是三個(gè)非0向量，若

a

+

b

=0，則|

a

•

c

|=|-

b

•

c

|=|

b

•

c

|，則②正確；
對(duì)于③，

a

、

b

共線?

a

•

b

=±|

a

||

b

|，則③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，|

a

|•|

b

|-2

a

•

b

=|

a

|•|

b

|-2|

a

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞=|

a

|•|

b

|（1-2cos＜

a

，

b

＞），
當(dāng)＜

a

，

b

＞=

π

3

時(shí)，|

a

||

b

|=2

a

•

b

，則④錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，

a

•

a

•

a

=（

a

2）•

a

=|

a

|²•

a

，則⑤錯(cuò)誤；
對(duì)于⑥，

a2

+

b2

≥2|

a

|•|

b

|≥2

a

•

b

，則⑥正確；
對(duì)于⑦，非零向量

a

，

b

滿足：

a

•

b

＞0，則

a

與

b

夾角為銳角或同向，則⑦錯(cuò)誤；
對(duì)于⑧，若

a

，

b

的夾角為θ，則|

b

|cosθ表示向量

b

在向量

a

方向上的投影，則⑧錯(cuò)誤．
故答案為：①②⑥．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的基礎(chǔ)知識(shí)：向量的共線和模和數(shù)量積的性質(zhì)，向量的夾角和投影的概念，注意運(yùn)用定義和等價(jià)性是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．