Question

在平面直角坐標系xOy中，點A（1，

2

16

），P_n（1-

1

2n

，0）（n∈N^*）．記直線AP_n的傾斜角為α_n，∠P_nAP_n+1=θ_n，△P_nAP_n+1的面積為S_n，求：
（1）α₄（用反三角函數(shù)值表示）；
（2）S_n及則 

lim

n→∞

（S₁+S₂+…+S_n）；
（3）θ_n的最大值及相應(yīng)n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的極限

專題：綜合題

分析：（1）由兩點求斜率求得kAPn=

0- 2 16

1- 1 2n -1

=2n-

7

2

，進一步得到kAP4=

2

，再由反三角求得α₄；
（2）首先求出△P_nAP_n+1的底邊長

1

2n+1

，代入三角形的面積公式可得Sn=

1

2

×

1

2n+1

×

2

16

=

2

2n+6

，說明數(shù)列{S_n}構(gòu)成以S1=

2

27

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，然后直接由公式可得 

lim

n→∞

（S₁+S₂+…+S_n）；
（3）由（1）知kAPn+1=2n-

5

2

，結(jié)合到角公式可得tanθn=

kAPn+1-kAPn

1+kAPn+1•kAPn

=

2n- 5 2 -2n- 7 2

1+2n- 5 2 •2n- 7 2

=

2n- 7 2 (2-1)

1+2n- 5 2 •2n- 7 2

，整理后利用基本不等式求得tanθ_n的最大值，并進一步得到θ_n的最大值，由不等式等號成立的條件求得n的值．

解答： 解：（1）∵A（1，

2

16

），P_n（1-

1

2n

，0），∴kAPn=

0- 2 16

1- 1 2n -1

=2n-

7

2

，
則kAP4=

2

，即tanα4=

2

，∴α4=arctan

2

；
（2）|Pn+1-Pn|=|1-

1

2n+1

-1+

1

2n

|=|

1

2n

-

1

2n+1

|=

1

2n+1

，
∴Sn=

1

2

×

1

2n+1

×

2

16

=

2

2n+6

；
∴數(shù)列{S_n}構(gòu)成以S1=

2

27

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
則 

lim

n→∞

（S₁+S₂+…+S_n）=

2 27

1- 1 2

=

2

64

；
（3）由（1）知kAPn+1=2n-

5

2

，
由到角公式可得tanθn=

kAPn+1-kAPn

1+kAPn+1•kAPn

=

2n- 5 2 -2n- 7 2

1+2n- 5 2 •2n- 7 2

=

2n- 7 2 (2-1)

1+2n- 5 2 •2n- 7 2

=

2n- 7 2

1+2n- 5 2 •2n- 7 2

=

1

1 2n- 7 2 +2•2n- 7 2

≤

1

2 1 2n- 7 2 •2•2n- 7 2

=

2

4

．
當(dāng)且僅當(dāng)

1

2n- 7 2

=2•2n-

7

2

，即n=3時上式取“=”．
則θ_n的最大值為arctan

2

4

，此時n=3．

點評：本題考查了數(shù)列求和，考查了直線的傾斜角與斜率，考查了反三角函數(shù)，訓(xùn)練了到角公式的應(yīng)用及基本不等式求最值，考查了計算能力，是中高檔題．