Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 點(diǎn)P（3，1）在橢圓上，△PF1F2的面積為2 ．
（1）①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； ②若∠F1QF2= ，求QF1QF2的值．
（2）直線y=x+k與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①由條件，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，將點(diǎn)P（3，1）代入橢圓方程，

∴ ，

由 = 2c1=2 ，即

又a2=b2+c2，

∴a2=12，b2=4，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；

②當(dāng) 時(shí)，有

∴

（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，得4x2+6kx+3k2﹣12=0

由韋達(dá)定理及直線方程可知： ，

∵以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則 ，

解得： ，此時(shí)△=120＞0，滿足條件，

因此

【解析】（1）由三角形的面積 = 2c1，即可求得 ，將點(diǎn)P（3，1）代入橢圓方程，由橢圓的性質(zhì)a2=b2+c2 ， 即可求得a和b的值，求得橢圓方程；當(dāng) 時(shí)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)及完全平方公式，即可求得QF1QF2的值；（2）將直線方程代入橢圓方程，求得關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理求得x1x2及y1y2 ， 由題意可知 =0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得實(shí)數(shù)k的值．