Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+2x+2}$．若方程f（x）=x-1有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 判斷函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，方程f（x）=x-1即為a=（x-1）（x²+2x+2）-x=x³+x²-x-2，令g（x）=x³+x²-x-2，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，極值，由題意可得a介于極小值和極大值之間．

解答 解：由于x²+2x+2＞0恒成立，則f（x）的定義域?yàn)镽，
由函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+2x+2}$，
方程f（x）=x-1即為
a=（x-1）（x²+2x+2）-x=x³+x²-x-2，
令g（x）=x³+x²-x-2，
則g′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
令g′（x）＞0可得x＞$\frac{1}{3}$或x＜-1，
令g′（x）＜0可得-1＜x＜$\frac{1}{3}$．
即有g(shù)（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（$\frac{1}{3}，+∞$），
減區(qū)間為（-1，$\frac{1}{3}$），
則g（x）的極小值為g（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{59}{27}$，
極大值為g（-1）=-1．
方程f（x）=x-1有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
即為直線y=a和函數(shù)y=g（x）有三個(gè)交點(diǎn)．
可得a的取值范圍是（-$\frac{59}{27}$，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程的根的個(gè)數(shù)，運(yùn)用參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查函數(shù)的極值求法，屬于中檔題．